如何从地球出发，借助霍曼转轨飞往火星？4月12日中午12点，《张朝阳的物理课》第二百八十二期如期开播。搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳，现身搜狐视频直播间。他先是介绍了希尔球的知识，解释了它是如何划分行星的引力势；然后再将飞往火星的过程，划分为三个只受单一引力源影响的阶段；最终，还近似计算了脱离地球引力时的双曲线轨道，以及飞往火星的椭圆轨道。
计算希尔球的半径 火箭在太阳系中飞行时，时刻受到太阳、八大行星和其他小行星的引力。为了简化问题，可以把整个航行过程分段，每个阶段只考虑一个主要天体的引力作用。希尔球（Hill sphere）是常用的一种方法。简单来说，当火箭处在行星的某个区域时，主要由该行星的引力决定它的运动轨迹。这个区域可以近似地看作一个球体，以行星为中心，并且与拉格朗日点L1/L2相交，这就是行星在太阳系中的希尔球。利用希尔球的概念，从地球到火星的旅程可以分为三个阶段：首先，从地球的近地轨道出发，摆脱地球的希尔球；其次，在太阳引力主导下，飞往火星公转轨道附近；最后，进入火星的希尔球，并被火星捕获。
先来计算一下地球的希尔球半径，也就是日地拉格朗日点L1到地心的距离。之前物理课里已经计算过拉格朗日点，这里简单回顾一下。考虑太阳和地球构成的两体系统，地球绕太阳公转的角速度是，日地距离是，太阳和地球的质量分别是和。根据圆周运动公式，可以写出：
https://q4.itc.cn/images06/20260506/c2356a66c40e4b4697f1e325900d043b.svg
但实际上，太阳和地球是绕着它们的质心转的，所以等号右边的质量应该是太阳和地球的总质量。不过，太阳的质量远大于地球，这个公式近似成立。另外，考察日地连线上距离地球某点，如果它能跟日地系统一起公转，那么：
https://q5.itc.cn/images06/20260506/e5d1ce9fd720431fa6182fb974777275.svg
把上面两个式子联立起来，并对等号右边的式子做关于的一阶泰勒展开，就能解得：
https://q0.itc.cn/images06/20260506/99c1b493dc674b35a6a34e578e65b550.svg
（张朝阳计算希尔球的半径）
https://q1.itc.cn/images06/20260506/d03fa4a0b38d49b4b87e47a076572c6b.svg
计算去火星的转移轨道 开始计算前，张朝阳先定义了五个关键速度：，火箭在近地轨道上绕地球公转的速度；，火箭在近地轨道上点火加速后的逃逸速度；，火箭脱离地球引力时相对地球的速度；，火箭脱离地球引力时相对太阳的速度；，火箭结束转移阶段时相对太阳的速度。
https://q9.itc.cn/images06/20260506/b95513ede1464aef8a36a19ee0511139.svg
先来求地球公转速度，可以用圆周运动方程得到。如果想要从地球的公转轨道上脱离太阳系，需要让动能超过引力势能。也就是说，如果要去飞往太阳系内的其他行星，需要让火箭相对太阳的速度在29.8km/s到42.2km/s之间；如果要去飞出太阳系，就需要超过42.2km/s。飞往火星正是这种情形。接下来确定椭圆轨道的参数，考虑圆锥曲线在极坐标下的参数方程：
https://q8.itc.cn/images06/20260506/688d7b7adb744718bb15d5f424b9007a.svg
其中，近日点是日地距离，远日点是日火距离。由此可以解出参数。另一方面，参数B来自于对运动方程做比奈变换后得到的常数，其中是比角动量的大小，等于轨道上的速度叉乘位矢得到的矢量大小。把这两个式子联立起来，能得到：
https://q1.itc.cn/images06/20260506/8f42813db5b546bf8fe252ffb03e7c4d.svg
由此可以得到火箭在进入转移阶段时相对太阳的速度。对应的，火箭相对地球的速度为：
https://q6.itc.cn/images06/20260506/2a7f61f2ae324da689e431d79cde71b9.svg
这个转移轨道的半长轴，可以用开普勒第三定律算出。可以算出这个轨道的周期。考虑到转移过程只需要走半个椭圆，所以实际转移耗时大约是八个半月。
https://q1.itc.cn/images06/20260506/525f7e3c56194002b4f9f1b057984407.svg
计算脱离地球的逃逸轨道 最后，张朝阳计算了火箭从近地轨道加速进入转移轨道的双曲线轨道。双曲线也是一种圆锥曲线，它的参数方程和椭圆轨道是类似的。假设近地轨道高度是，地球半径是，近地轨道的圆周运动速度是。火箭先在近地轨道上点火加速，在几分钟内速度变成，然后远离地球后，相对地球的渐近速度是，根据机械能守恒有：
https://q8.itc.cn/images06/20260506/01bb2810d80149b9b21a5825de1c1726.svg
由此可见，这个阶段加速所需要的速度增量是。有了，还可以进一步地得到双曲线轨道上的比角动量，进而算出双曲线的参数。再根据双曲线的近地点位于近地轨道这一条件，可以解出：
由此可以算出双曲线的渐近线所对应的极角，从而算出从整个逃逸过程速度方向的偏转角为。
https://q9.itc.cn/images06/20260506/b0f3a4574b554f1bb232b40deb090f23.svg
（逃逸轨道的详细示意图）
https://q4.itc.cn/images06/20260506/1a542d5a308b4a59b15c462d09840f93.svg
据悉，《张朝阳的物理课》每周日中午12时在搜狐视频直播。想观看直播或往期完整视频回放的朋友，可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”。要是想看课程中的“知识点”短视频，可以关注“张朝阳的物理课”账号。另外，还能在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，读到每期物理课程的详细文章。
https://q9.itc.cn/images06/20260506/c94bf74943fe4adeaabaeff65edc3752.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/775c7e1c6c1e4b589baada78354bd314.svg
https://q7.itc.cn/images06/20260506/f4777ae0987b4f5785442f0e0e002a5c.svg
https://q2.itc.cn/images06/20260506/75c15038d37c486bb9b093aa2cd69a4b.svg
https://q8.itc.cn/images06/20260506/e6f131c579c541018852eca7e8c7bd3d.svg
https://q1.itc.cn/images06/20260506/1d8b8e06dab84b599f9a42146b27a540.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/d03505372bde43669281ae7d05e7d6a3.svg
https://q5.itc.cn/images06/20260506/11950f7b17504d6592605728a446dd3a.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/901febaadf2c48d492f894371542e350.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/d01cfd50453649e899517a914807d2fb.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/db88b075f14a48efa30570e605c9d2ce.svg
https://q1.itc.cn/images06/20260506/fefa3562f6c6469eb1979438403b1a9a.svg
https://q8.itc.cn/images06/20260506/93ed25ac5b024531ba41f21783393d79.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/58178dc139754d889e63dbb9bfe782e1.svg
https://q7.itc.cn/images06/20260506/aca8934bff4346b4b7e59a552ee60c4c.svg
https://q6.itc.cn/images06/20260506/d1c9dbe6a2164fc09a35d810376fbf79.svg
https://q2.itc.cn/images06/20260506/463e2355dcf841b3ae20e1ff82499ca0.svg
https://q2.itc.cn/images06/20260506/fae57b2e096b43cf8dd99588e5962b66.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/ad047c89f5be4ff3a81e6825e6006fe0.svg
https://q3.itc.cn/images06/20260506/2792247073324bd5861389f709d8d35c.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/163aa821365145c5b7de2a5b54e03df4.svg
https://q5.itc.cn/images06/20260506/cc680bf62d72485f933cf577b939039c.svg
https://q1.itc.cn/images06/20260506/8e4c1442b435429797c82cc51ea4dc92.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/2a812ae7a8d749fab4c3e93ca701279f.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/cc6952582961421ea80b2d57305105a5.svg
https://q6.itc.cn/images06/20260506/3b5060b2a22949238723489338c7c30f.svg
https://q5.itc.cn/images06/20260506/08e63ecd28b24ed9bcf19bc7c62c85a5.svg
https://q0.itc.cn/images06/20260506/cd2d40e04cbd49b2b5cfeb1516aa2292.svg
https://q3.itc.cn/images06/20260506/011f8a058c9d4c52849532a1da7424cd.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/f7ec450b4cf5473ba261fcd231242bb2.svg
https://q6.itc.cn/images06/20260506/e65efd7e053145dcb1337f4b259ebabf.svg
https://q9.itc.cn/images06/20260506/cf4fd1acc5224acfba24c221da896af5.svg
